Halme

Einfädeln

Normalerweise braucht man viele Fäden für ein Objekt. Das übliche Einfädeln von Hand oder mit Einfädler ist mühsam. Eine wenig attraktive Alternative ist, einen ziemlich langen Faden zu nehmen, jeweils weit durchzuziehen und das hintere bearbeitete Stück abzuschneiden. Ich benutze folgende Alternative für das dickere Garn:

• Vorbereitung: Ein Stück dünnen Faden durch das Öhr der abgerundeten Nadel führen und die Enden verknoten.
• Mit Daumen und Zeigefinger die Öse so aufnehmen, dass beide Finger jeweils in einer kleineren Öse sind.
• Diese aufeinanderlegen und ca 1 cm vom dickeren Faden hindurchführen.
• Die kleinen Ösen zusammenziehen.
• Die Befestigung reicht aus, um die Nadel durch Halme zu ziehen. Danach lässt sich der dünne Faden leicht abstreifen und wieder verwenden..

Faden durch Halm ziehen

• Dickeres Garn in die lange Nadel fädeln.
• Vorderes Nadelende in den Halm stecken.
• Mit dem Magnet die Nadel durch den Halm ziehen.

Was ist eine Holznadel?

Der Begriff ist von mir. Ich nehme einen hölzernen Schaschlikspieß oder für längere Halme einen hölzernen Pflanzenstützstab. Die Form ist ein länglicher Zylinder mit einer Spitze davor. Er muss dünn genug sein, so dass er durch die Halme passt zusätzlich zu den schon durchgezogenen Fäden. Am Ende des Zylinders wird eine Kerbe gemacht, durch die man den Faden in einen Schlitz einbringt.

Herstellung der Holznadel

• Mit einem scharfen Messer schneide ich vom Ende aus 2 bis 4 cm tief in den Stab.
• Ich ziehe das Messer etwas zurück, stecke einen Offenhalter, z.B. eine Nadel, in den Spalt und entferne das Messer.
• Mit einer Feile schräge ich die Endstücke ab, so dass nach Wegnahme des Offenhalters ein Keil im Ende ist.
• Ich markiere den Keil farblich, so dass die Richtung gut zu sehen ist und entferne den Offenhalter.
• Damit ist die Holznadel fertig. Bei Serienherstellung reicht am Ende etwa eine Minute je Nadel.

Verwendung der Holznadel

Die Nadel wird dazu benutzt, Fäden längs durch Halme zu ziehen. Der Anfang des Fadens wird quer über den Keil gelegt und nach vorne in den Spalt gezogen. Er soll bei der Nutzung halten, aber den Spalt nicht verlängern. Mit der Nadel wird der Faden durch die Halme gezogen. Am Ende wird der Faden verknotet, von der Nadel genommen und geschnitten.

Hindernisse bei der Bewegung der Holznadel

Manchmal versperren schon angebrachte Halme oder Fäden die Bewegung der Nadel. Dann muss man den Faden vorübergehend von der Nadel nehmen.

Halme schneiden

• Ersten Halm schneiden und senkrecht auf eine glatte Fläche stellen.
• Weitere Halme einzeln rechts daneben stellen.
• Eine geöffnete Schere auf den linken Halm legen und von rechts zuschneiden.

Konstruktion

• Einen Tetraeder bauen wie zuvor beschrieben.
• Ein nicht ganz dünnes, etwas elastisches Garn wählen.
• 2 Fäden davon abscneiden, jeweils etwa dopplt so lang wie ein Halm.
• Ein Ende von innen durch die Fäden einer Ecke nach außen ziehen und (<--todo-->wie bei Nacharbeiten noch beschrieben werden soll) anbringen.
• Das andere Fadenende beim anderen Ende des blauen Halms durchziehen, aber noch nicht befestigen.
• Mit dem zweiten Faden dasselbe beim zweiten blauen Halm tun. Dabei sollen sich beide Fäden in der Mitte umschlingen.
• Von außen an den Fadenenden ziehen bis alles stramm und symmetrisch ist.
• Einen Faden anbringen, dann den zweiten wieder stramm ziehen und auch anbringen.

Geometrie

Warum der Name Fünfzell?

Die 6 Halme und die vier inneren Fadenhälften werden alle als Kanten gesehen. Es gibt außer dem äußeren Tetraeder noch vier innere Tetraeder. (Sie sind abgeflacht. Sie haben jeweils ein äußeres Dreieck mit 3 Halmen und drei Fäden zum Mittelpunkt. Damit werden drei weitere Flächen gebildet.) Die so umschlossenen Räume werden Zellen genannt, ebenso der Außenraum, insgesamt 5 Zellen.

Das geometrische Objekt und sein Bild

Zu sehen ist ein Tetraeder gebaut aus einem grünen Dreieck und 3 schwerzen Halmen. Er ist auf die Ecke gestellt, bei der sich die schwarzen Halme treffen. Wenn wir von oben darauf gucken, sehen wir das grüne Dreieck und darin 3 schwarze Halme, so dass sich 3 weitere Dreiecke ergeben. Das grüne Dreieck mit den 3 schwarzen Linien zu seinem Mittelpunkt ist ein Bild des dreidimensionalen Objekts.

Ebenso ist unser Fünfzell ein Bild von einem 4-dimensionalen regelmäßigen Fünfzell.
Das ist zunächst nur eine Analogie. Wir leben im Raum mit 3 Dimensionen, können eine 4. Raumdimension nicht erleben, aber ein Bild von einem 4D-Objekt machen.

Der 4-dimensionale Raum

Aber was ist denn die 4. Dimension. Sicher nicht die Zeit, sie ist anders, geht von der Vergangenheit zur Zukunft. Die 4. Dimension hat nichts mit unserer Erfahrung zu tun, sondern ist ein mathematisches Konstrukt:

• Wenn wir eine Gerade mit zwei Punkten 0 und 1 haben, können wir für jeden Geradenpunkt mit einer Zahl x angeben, wo er ist.
• In der Ebene benutzen wir ein Koordinatensystem. Für jeden Punkt P können wir mit einem Zahlenpaar (x,y) oder (p₁,p₂) den Ort angeben. Wir identifizieren den Punkt auch mit seinem Ort: P=(p₁,p₂).
• Im 3D-Raum ist ein Punkt durch 3 Zahlen gegeben: (x,y,z) oder P=(p₁,p₂,p₃).
• Dann gehts einfach weiter: Der vierdimensionale Raum besteht aus allen Punkten P=(p₁,p₂,p₃,p₄). Bei jeder weiteren Dimension kommt eine Zahl hinzu.

Die ganze Geometrie der Ebene und des 3D-Raumes kann man durch Zahlen ausdrücken und auf mehrdimensionale Räume erweitern. Die Anschaulichkeit geht dabei allerdings verloren.

Schläfli-Symbole

Der Fünfzell hat das Schläfli-Symbol {3,3,3}, weil jede Kante 3 Tetraedern {3,3} um sich hat. Bitte nachprüfen!

Zu allen 5 platonischen Körpern gibt es vierdimensionale Entsprechungen:

{3,3} Tetraeder	{3,3,3} 5-Cell
{3,4} Oktaeder	{3,3,4} 16-Cell
{4,3} Hexaeder	{4,3,3} 8-Cell
{3,5} Icosaeder	{3,3,5} 600-Cell
{5,3} Dodekaeder	{5,3,3} 120-Cell
keine Entsprechung	{3,4,3} 24-Cell

Das Schläfli-Symbol {s1,s2} oder {s1,s2,s3} bedeutet die Zahl der Kanten einer Fläche, die Zahl der Flächen einer Zelle und die Zahl der Zellen um eine Kante. Die 4d-Obbjekte kann man in 3D abbilden (s. o.{3,3,3}). Alle Halmobjekte mit 3 am Anfang sind stabil. Allerdings ist {3,3,5} ziemlich groß.

Konstruktion eines Oktaeders

Gute stabile Konstruktion

• Wie beim Tetraeder zuerst ein Dreieck machen (linkes Bild, unten grün)
• An jede Kante mit zwei schwarzen Halmen ein Dreieck anfügen
• Aus zwei der schwarzen Kanten und einem grünen Halm jeweils ein Dreieck einfügen
• Im oberen grünen Dreieck einen Faden spannen

Das rechte Bild zeigt einen genau so gebastelten Oktaeder, aber mit anderer Färbung. (In jedem Halm sind ein gelber und ein roter Faden.) In der Vergrößerung sieht man die präzise Fadenführung. Sie ermöglicht den Balanceakt auf den 4 Halmenden einer Ecke.

Alternative Formulierung der Konstruktion

• Ein erstes Dreieck machen
• Weitere gleichseitige Dreiecke anfügen
• Dabei beachten, dass an jeder Ecke genau 4 Halme zusammen kommen.

Diese Formulierung hat den Vorteil, dass man durch Ändern der Zahl 4 weitere Objekte bekommt:

• 3 ⇒ {3,3} Tetraeder
• 4 ⇒ {3,4} Oktaeder
• 5 ⇒ {3,5} Ikosaeder
• 6 ⇒ {3,6} Füllung der Ebene mit Dreiecken
  Dabei muss man irgendwann aufhören.
• 7 ⇒ {3,7} und mehr: Füllung der der hyperbolischen Ebene mit Dreiecken. Das lässt sich mit Halmen kaum machen.

Schlechte Konstruktion

Vorgesehen

Geometrie von Oktaeder und Hexaeder (Würfel)

Der Oktaeder {3,4}

• Er hat 8 Dreiecke, von denen je 4 an einer Ecke zusammen kommen, 12 Kanten und 6 Ecken.
• Er ist regulär (regelmäßig) d.h. zu je 2 Kombinationen zusammen gehöriger Ecke, Kante und Fläche gibt es eine Raumsymmetrie, die das Objekt auf sich selbst abbildet die Kombinationen aufeinander.
• Er ist ist eine vierseitige Doppelpyramide. Sie besteht aus einer vierseitigen Pyramide nach oben und einer nach unten.
• Bei vielen altägytischen Pyramiden empfindet man intuitiv den unteren Teil mit und verdoppelt dadurch ihre Größe.  >Pyramiden

Der Hexaeder (Würfel) {4,3}

• Er hat 6 Vierecke, von denen je 3 an einer Ecke zusammen kommen, 12 Kanten und 8 Ecken.
• Er ist regulär (regelmäßig)

Zusammenspiel

Mit Spitzen

Auf jedes Dreieck des blauen Oktaeders ist eine rote Spitze aufgesetzt.


Die Spitzen bekommen goldene Kugeln. Die acht Kugeln sind die Ecken eines Würfels. Wenn man benachbarte Kugeln verbindet, bekommt man seine Kanten.

Die Kugeln sind gekaufter Weihnachtsschmuck aus Styropor mit Goldglitzer. Ein dünner, bei Schwarzlicht leuchtender Faden ist hindurch und zurück genäht, geknotet und stramm mit der gegenüber liegenden Kugel verbunden. Diese vier Diagonalfäden treffen sich in der Mitte.