Anpassung des Polytop-Artikels von 2004 auf die Umgebung von 2013 und Vergleich mit den neuen Inhalten

Alte Seiten von 2004

Im Jahr 2004 stellte ich unter http://polytope.uni-koeln.de/

Änderungen

Jetzt (2013) stelle ich die Inhalte fast unverändert in der hier benutzten Technik bereit. Einige Texte sind verständlicher gegliedert als zuvor. Manches würde ich jetzt anders schreiben und zusammenstellen, aber ich lasse es. Überschriften, zu denen es noch keinen Inhalt gab, lass ich auch so. (br2)Die Texte behandeln hauptsächlich Polytope in zwei und drei Dimensionen. Weiter gibt es etwas Text zu reellen Zahlen und Vektorräumen und philosophische Ansichten zur Erkenntnistheorie. (br2)Im Teil "Modelle" kann man über ein Formular 3D-Modelle von Polytopen erzeugen. Dabei werden Javascript und VRML (Virtual Reality Modeling Language) benutzt. Die damals empfohlenen VRML-Viewer "Cosmo Player" und "Cortona VRML Client" sind heute nicht mehr verfügbar: "Cosmo Player" wurde nicht weiter entwickelt. "Cortona VRML Client" funktionierte in der letzten von mir geladenen Version nur mit dem Internet Exporer und führte oft zu Abstürzen von Windows. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen frei verfügbaren Ersatz nennt, der Javascript unterstützt und möglichst die erzeugten VRML-Dateien anzeigt. (br2)Inzwischen habe ich meine mathematischen Forschungen weiter betrieben. In der Version von 2013 gibt es deshalb Polytope zu sehen, die strukturell bis zu 5 Dimensionen haben. Dabei werden Kreise und Kugeln benutzt. Die im 3D modellierten Objekte zeige ich meist nicht mehr mit VRML, sondern mit der frei benutzbaren Software POV-Ray. Für künstlerische Zwecke wähle ich spezielle, unrealistische Materialeigenschaften. Während es mir 2004 um eine realistische Darstellung von dreidimensonalen Polytopen ging, spielen jetzt Ästhetik und Kunst eine größere Rolle.

Willkommen

Liebe Besucher

Diese Site enthält schöne geometrische 3D-Bilder und Modelle für

• mathematisch interessierte Laien,
• Mathematiker,
• Ästheten,
• Designer und
• Liebhaber der "Heiligen Geometrie"

Auch wenn Sie nichts mit Mathematik zu tun haben, werden Sie sich an den Bildern erfreuen!

Das Wort "Polytop" bezeichnet geometrische Objekte wie Punkt, Linie, Dreieck, Quadrat, Würfel, Sterne und ähnliches, auch in mehr als drei Dimensionen. Hier werden hauptsächlich flächenhafte Polytope (n-Ecke, Polygone) und räumliche Polytope (Polyeder) gezeigt, meist regelmäßige und fast regelmäßige. Die "normalen" Objekte werden ergänzt durch solche mit sich durchdrigenden Seiten (Beispiel Pentagramm) und mit gebogenen Kanten und Flächen. Das führt zu neuen ästhetischen Eindrücken und mathematischen Erkenntnissen.

Einige fertige Bilder können Sie sich direkt ansehen. Den richtigen Eindruck bekommen Sie aber erst bei den dynamischen Modellen. Dazu benötigen Sie JavaScript und einen "VRML-Viewer". Näheres zur Installation des Viewers und zur Benutzung der Modelle finden Sie bei Modelle/Benutzungshinweise. Wenn Sie sich für die mathematische Bedeutung der Modelle interessieren, lesen Sie bitte den Einstieg bei der Theorie.

An manchen Stellen können Sie mit einem Klick auf ein Wort eine Erläuterung anfordern. Sie erscheint in einem extra Fenster. Sie sollten deshalb zwischen Fenstern wechseln und die Fenstergröße variieren können. Das gilt besonders, wenn Sie Modelle benutzen.

Bitte legen Sie Links nur auf die Seite Kira S, nicht auf die Polytop-Seiten, da sich die Adressen ändern können. Übernehmen Sie ohne Rücksprache mit mir () keine Inhalte oder Ideen auf andere Seiten. Ich habe diese Seiten gemacht, und das soll man auch sehen. Im Forum können Sie Verbesserungen vorschlagen, weitere Quellen angeben und diskutieren.

Meine Suche nach Polytopen

Ich betreibe Mathematik als Hobby, habe kaum Kontakt zu Mathematikern und Veröffentlichungen. So etwa um 1990 hab ich mich in einem Urlaub gefragt, welche Entsprechungen es zu den Platonischen Körpern in vier Dimensionen gibt. Mit ein bisschen Nachdenken und Knetgummi kam ich drauf, welche sechs Körper es gibt, und dass es in weiteren Dimensionen nur drei gibt.

Später sah ich im Internet, dass Ludwig Schläfli (1814-1895) das schon um 1850 gefunden hatte. Seine Symbole, z.B. {5,3} für den Dodekaeder, hatte ich mir auch ausgedacht, allerdings mit runden Klammern geschrieben: (5,3). Schliesslich war ich gewohnt, die Elemente einer Menge in geschweiften Klammern aufzuzählen, mit willkürlicher Reihenfolge. Schäfli konnte das nicht wissen, denn Georg Cantor, der Hauptentwickler der Mengenlehre, war damals noch ein Kind.

Irgendwann grübelte ich wieder vor mich hin und fand Polygone und Polyeder mit gekrümmten Flächen und sammelte regelmäßige Polytope. Im August 2003 suchte ich im Web danach und fand, dass im Jahr 1977 ein Herr Grünbaum fast genau dasselbe publiziert hatte. Auch meine Definitionen für "regelmäßig" und "fast regelmäßig" fand ich wieder (die zweite woanders). Allerdings mokierte sich Herr Grünbaum darüber, dass manche Leute "Membranen" zwischen die Kanten der Polygone zu legen versuchten. Für den Mathematiker seien doch nur die Eckpunkte wichtig. Ich verstehe den Gedanken. Aber neben einigem Mathematischen (z.B. Zweiecke) geht dabei viel Ästhetik verloren. Und diese ist wichtig, um die schönen Strukturen nicht in Gedankenschlössern verdorren zu lassen, sondern der Allgemeinheit vermitteln zu können.

Inzwischen ist anscheinend viel weiter geforscht worden. Aber ich hab Probleme, mich durch Veröffentlichungen durchzukämpfen. Schließlich ist Mathematik nur eins von meinen Hobbies. Ich will mein Leben leben, als Kira, die Tänzerin.

Regelmäßige ebene Flächen

{3} Dreieck, {4} Viereck, {5} Fünfeck, {5/2} Pentagramm, {6} Sechseck, {7} Siebeneck, {7/2}, {7/3}, {8} Achteck, {8/3}

Regelmäßige gebogene Flächen (in je zwei Ansichten)

{z4}, {z6}, {z6/2}, {z8}, {z8/3}, {z10/3}

Regelmäßige Körper mit ebenen Flächen

{3,3} Tetraeder (Dreiseitige Pyramide), {3,4} Oktaeder, {4,3} Hexaeder (Würfel), {3,5} Ikosaeder, {3,5/2}, {5/2,5}, {5,5/2}, {5,3} Dodekaeder, {5/2,3}

Regelmäßige Körper mit gebogenen Flächen