Vorbemerkungen

Zielgruppe:	mathematisch interessierte Leute, keine Sezialisten
Vorkenntnisse:	Mengen (nur als Begriff), natürliche, ganze und reelle Zahlen und rechnen damit.
Ziele:	1. Grundkenntnisse vermitteln 2. Die Verteilung der Primzahlen so zu verstehen und zu veranschaulichen, dass dabei der allgemeine Verlauf und die quasi zufälligen Schwankungen zu sehen sind.
Vorgehen:	Summen berechnen und darstellen
benutzte Quelle:	hauptsächlich http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz vom November 2012
Eigenanteil:	Fast alles andere, insbesondere die 2. Zielsetzung und die Berechnungen dazu. Vermutlich gibt es ähnliches schon lange.
Fehler	Ich habe die Formeln und Berechnungen nicht gründlich überprüft und vermute Fehler darin.

Theorie

Primzahlen und Zahlentheorie

Definition: Eine Primzahl ist eine ganze Zahl p>1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Der Buchstabe p wird hier für Primzahlen benutzt.

Die Primzahlen bilden eine unendliche Folge p₁=2, p₂=3, p₃=5, p₄=7, p₅=11, ...
(Beweis: Zu jeder endlichen Menge von Primzahlen ist (1 + deren Produkt) durch keine der Primzahlen teilbar, es gibt also noch mehr.)

Die Zahlentheorie beschäftigt sich großenteils mit natürlichen Zahlen, insbesondere mit Primzahlen: Finden großer Primzahlen und Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren (beides wichtig zur Ver- und Entschlüsselung von Texten) und um die Verteilung von Primzahlen (z.B. Wie viele Primzahlen gibt es ≤n?).

Man unterscheidet die elementare Zahlentheorie, welche nur relle Zahlen benutzt und die analytische Zahlentheorie, welche mit komplexen Zahlen weitere Ergebnisse liefert. Hier geht es neben elementarer Theorie vor allem um das experimentelle Auszählen, Summieren und Darstellen.

Prüfen einer Zahl

Um zu prüfen, ob eine Zahl n prim ist, kann man entsprechend der Definition für alle Zahlen k, 1<k<n testen, ob n/k ganz ist. Es reicht aber, für Primzahlen p≤√(n),zu testen, ob n/p ganz ist und nach einer gefundenen aufzuhören. Bei großen Zahlen wird dieses Vorgehen immer aufwändiger. Dann nutzt man andere, komplizierte Tests.

Liste vieler Primzahlen, Sieb des Eratosthenes

Bild bei Wikimedia: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dc/Animation_schnell_-_Sieb_des_Eratosthenes.gif

Um eine Liste von Primzahen, im Beispiel bis 120, zu erstellen, muss man nicht jede der Zahlen wie eben angegeben prüfen. Viel einfacher geht es mit dem "Sieb des Eratosthenes" . (Wikipedia-Artikel, Kurzinfo zu Eratosthenes). Die Zahlen von 2 bis z.B. 120, werden gelistet. Iterativ wird die kleinste nicht gestrichene Zahl als Primzahl genommen, ihre Vielfachen werden gestrichen. Als Rechenoperation reicht die Addition.

Man spart Platz und Arbeit, wenn man nur die ungeraden Zahlen benutzt. So kann man mit einem normalen Computer in kurzer Zeit alle Primzahlen bis 10.000.000.000 finden. Dazu müssen nur die Primzahlen bis 100.000 dauerhaft im Speicher sein.

Quasi zufällige Verteilung

Wie sind die Primzahlen in dem Bild verteilt? Es ist eine gewisse Regelmäßigkeit zu sehen:

Primzahlen	Vielfache davon
2 braun	hellbraun, auf senkrechten Linien
3 grün	hellgrün, 3+6, 3+12,... im Muster
5 blau	hellblau, unter der 5 regelmäßig
7 gelb	hellgelb, im Muster mit Lücken
weitere lila, bilden zusammen     mit gelben Plätzen ein Muster	keine, 121=11*11 wäre die erste Zahl

Wenn man die Zahlen einfach hintereinander schreibt, sieht die Verteilung mehr zufällig aus, erst das Rechteck zeigt etwas Ordnung. Eine solche zufällig aussehende Verteilung mit versteckter Struktur heißt hier "quasi zufällig".

Primzahlhäufigkeit

Erster Eindruck, erste Überlegung

Im obigen Bild gibt es drei Zeilen mit je vier Primzahlen: 2,3,5,7, 11,13,17,19, 101,103,107,109. Kommt so etwas oft vor? Antwort: nein. Das liegt daran, dass die Primzahlen immer weniger zwischen anderen Zahlen vorkommen. Primzahlzwillinge p,p+2 und Primzahlvierlige werden immer seltener; man weiß in beiden Fällen nicht, ob ihre Anzahl endlich ist.

Die relative Häufigkeit nimmt deshalb ab, weil im Sieb immer mehr Zahlen gestrichen werden und so weniger Plätze für Primzahlen übrig bleiben. Um die Abnahme der Häufigkeit besser zu verstehen, sehen wir genauer hin, was beim Sieb des Eratosthenes passiert.

Systematik

Die folgenden Zeilen zeigen ein Sieb des Eratosthenes für Zahlen bis 2∗30=60.

     2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 

    2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

     2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

• Anfangs sind alle Zahlen Kandidaten und als solche grau. Das ist hier nicht gezeigt.
• Im ersten Zeilenpaar ist die 2 lila als Primzahl markiert. Gestrichen (schwarz) sind alle Vielfachen von davon: 4=2, 6, 8,... Die Zahlen 4=2∗2 und 5 sind rosa hinterlegt. Das Muster (schwarz, grau) wiederholt sich danach laufend.
• Im zweiten Zeilenpaar ist die erste verliebene Zahl 3 lila als Primzahl markiert. Neu gestrichen (schwarz) sind alle Vielfachen von von 3, die noch nicht gestrichen waren: 9, 15, 21,... Die 6=2∗3 Zahlen ab 9=3∗3 sind rosa hinterlegt, ihr Muster wiederholt sich.
• Im dritten Zeilenpaar ist die erste verliebene Zahl 5 lila als Primzahl markiert. Neu gestrichen (schwarz) sind alle Vielfachen von von 5, die noch nicht gestrichen waren: 25, 35, 55. Die 30=2∗3∗5 Zahlen ab 25=5∗5 sind rosa hinterlegt, ihr Muster wiederholt sich.
• Zur nächsten Primzahl 7 gehört ein Muster der Länge 210=2∗3∗5∗7, das bei 49=7∗7 beginnt. Es überlappt sich also mit dem Muster zur Zahl 5.

Die relative Häufigkeit der Kandidaten in den Mustern ist 1 von 2, 2 von 6, 8 von 30 und 48 von 210 oder 1/2, 1/3, 4/15 und 8/35. Ausgehend von 1 (alles Kandidaten) verringert sich die relative Häufigkeit nachfolgender Kandidaten an der Stelle p*p um den Faktor (1-1/p).

Dafür definieren wir eine Häufigkeitsfunktion h(n):

• h(1) = h(2) = h(3) = 1
• h(p²) = h(p²-1)*(1-1/p) für Primzahlen p
  (Der Faktor (1-1/p) kommt daher, dass von den bisherigen Kandidaten ein Anteil 1/p gestrichen wird.)
• Sonst bleibt h konstant.

Erste Werte für h(p²) sind h(4)=1/2=0.5, h(9)=1/3=0.333.., h(25)=4/15=0.266.., h(49)=8/35=0.228.., h(121)=16/77=0.207.., h(169)=192/1001=0.191..
Es folgt: Die Funktion h(p) soll für große Argumente geschätzt werden. Dazu wir zunächst der Logarithmus gebildet: Den Logarithmus ln(1-1/p') ersetzen wir durch -1/p': Hier ist c1 eine Konstante, welche die Ungenauigkeit in der Gleichung für große p gegen 0 gehen lässt. c1 ist gegeben durch die Meissel-Mertens-Konstante M1:

Primzahldichte

Primzahlfunktion

(Das Wort Primzahldichte bedeutet bei der Quelle in Wikipedia π(x)/x und wird hier anders benutzt.)

Die Primzahlfunktion π(x) gibt an, wieviele Primzahlen es bis zu der reellen Zahl x gibt:
    π(x)=∑_p≤x 1
π(x) ist eine Stufenfunktion, springt bei jeder Primzahl um 1, sieht aber im Bild (rot) wegen des Maßstabes glatt aus. Es gibt glatte Näherungsfunktionen S(x), ihre Ableitung ist die Primzahldichte s(x).
Die Näherung x/ln(x) (grün) wurde 1793 von Carl Friedrich Gauß im Alter von 15 Jahren gefunden. Wir benutzen im folgenden die bessere Näherung
    S(x)=Li(x)=∫_2..xdt/ln(t)
(blau). Dabei ist also die Primzahldichte s(x)=1/ln(x). Für beide Näherungen gilt lim_x→∞(π(x)/S(x))=1.

Begründung der Funktion s(x)=1/ln(x)

Die Dichte s(x)=1/ln(x) lässt sich aus der Häufigkeitsfunktion h herleiten:
Für die Häufigkeit h(x) wurde auf der vorigen Seite geschrieben: Wir nehmen an, dass s(x)≃h(x) ist, ersetzen die Funktion h durch die Funktion s, setzen x:=p² und ersetzen ∑_p'<p,prim durch ∫_t≤√x s(t) dt. (Bei dem Integral ist kein Anfangswert für t angegeben, es wird eine beliebige Stammfunktion benutzt und die Konstante c2 geeignet gesetzt.)
Differenzieren nach x gibt Dies wird als Gleichung von der Funktion s(x)=1/ln(x) erfüllt. Sie ist wohl die wichtigste Formel für die Primzahldichte. Im nächsten Kapitel geht es um weitere Lösungen der Gleichung.

Warnung: Das Zeichen ≃ bedeutet "asymptotisch gleich". Das Differenzieren einer solchen Formel kann zu Fehlern führen. Bei s(x)=1/ln(x) und weiteren Funktionen des nächsten Kapitels stimmt das Ergebnis aber. Es gilt vermutlich nicht für die dort angedeutete unendliche Reihe solcher Funktionen. Trotzdem kann dafür noch die Formel vor dem Differenzieren gelten.

Variation der Dichtefunktion

Dieses Kapitel ist relativ schwer zu verstehen und benutzt auch komplexe Zahlen. Die Überlegungen stammen vom Autor. Es bleiben wesentliche Fragen und die Verwertbarkeit offen. Am Ende wird ein Vergleich mit Riemans Arbeit versucht.

Problembeschreibung und eine Gleichung dazu

Wenn die Primzahldichte anfangs von 1/ln(x) abweicht, gibt das Änderungen bei x², x³, x⁴,... Solche Abweichungen werden hier behandelt, allerdinges nur als eine relativ kleine, glatte Funktion r(x). (Anzeichen für schnelle Schwankungen ergeben sich daraus gegen Ende des Kapitels.) Das setzen wir in die Gleichung für s' ein: Quadrate in r werden ignoriert. Teile ohne r(x) und r'(x):=dr/dx heben sich weg. Es bleibt: Wegen |r(x)|<<1 entfällt das Quadrat in r: (Wir schreiben nach Weglassen der Quadrate = statt ≃, denn solche Lösungen suchen wir.) Verschiedene Lösungen dieser in r linearen Gleichung können kombiniert werden.

Lösungen der Gleichung

Zum Suchen von Lösungen zu der Gleichung r'(x) = - r(√(x)) / (x ln(x)) setzen wir t:=ln(ln(x)), ρ(t):=r(x) und ρ':=dρ/dt. Aus der Gleichung für r' wird eine für ρ', die unabhängig von t ist! Als Ansatz benutzen wir eine Exponentialfunktion.

Es gibt keine reelle Lösung dazu (k+2^-k ist immer positiv). Mit einem Computer-Suchlauf wurde aber eine Serie komplexer Lösungen gefunden, die anscheinend unendlich ist: Jedes Paar ergibt zwei reelle Anteile zu ρ(t): Sie sind gedämpfte Schwingungen, wie sie in der Mechanik vorkommen. Jede erfüllt die obigen Bedingung: klein und glatt. Das gilt auch für die Summe endlich vieler Anteile. Für n→∞ werden die Wellenlängen immer kleiner, und ∑_n=0..∞ ρ_n(t) muss nicht mehr glatt sein, kann vielleicht die quasi zufällige Verteilung der Primzahlen widergeben. Aber dazu müsste man erst die Koeffizienten a_n und b_n kennen.

Da dem Autor die Theorie dazu fehlt, schägt er vor, einige Koeffizienten an ein Anfangsstück der Primzahlen anzupassen. Dazu minimiert man die folgende gewichtete Quadratsumme: mit (s. Primzahlhäufigkeit) Die Gewichtsfunktion g(p²) wird so gewählt, dass sie bei verschiedenen pmax ähnliche Ergebnisse liefert. Dann sieht man, ob das ganze einen Sinn hat.

Werte für u_n und v_n

n	u geschätzt u berechnet	v geschätzt v berechnet
0	-0.71197156072 -0.82467854614	1.51480162529 1.56743212385
1	-3.51649200245 -3.51523672192	10.88498759840 10.88005320845
2	-4.36174430094 -4.36143141283	20.08790781839 20.08716280600
3	-4.88897686608 -4.88885664543	29.22132926521 29.22118550826
4	-5.27390661314 -5.27384865880	38.32779425793 38.32778722878
5	-5.57739256242 -5.57736047492	47.42084746235 47.42087628105
6	-5.82799035618 -5.82797084936	56.50619180820 56.50622856080
7	-6.04143891129 -6.04142622483	65.58666808405 65.58670420570
8	-6.22734809744 -6.22733941446	74.66385932555 74.66389226609
9	-6.39202055346 -6.39201436790	83.73872155728 83.73875079734
10	-6.53981500564 -6.53981045480	92.81186822494 92.81189393786
100	-9.82778052821 -9.82778052513	908.72260613845 908.72260638422
1000	-13.14640859939 -13.14640859939	9066.98437193252 9066.98437193332
10000	-16.46801096853 -16.46801096853	90649.4687545248 90649.4687545248
100000	-19.78990658388 -19.78990658388	906474.294514013 906474.294514013
1000000	-23.11183143242 -23.11183143242	9064722.54983078 9064722.54983078
10000000	-26.43375920270 -26.43375920270	90647205.1027235 90647205.1027235
100000000	-29.75568726512 -29.75568726512	906472030.631619 906472030.631619
1000000000	-33.07761535676 -33.07761535676	9064720285.92057 9064720285.92057

Die Schätzung ist: Die Zahl 1.50139 ist ohne Bedeutung angepasst.

Vergleich mit der Zetafunktion

Gibt es irgendeinen Zusammenhang mit den Nullstellen der Zetafunktion?
Im Gegensatz zur Zetafunktion sind die Nullstellen hier plausibel: Bei jedem Zyklus von exp(-ln(2)i v) gibt es genau einen Schnitt mit der Ebene k. Es gibt keine weitere Nullstellen von k+2^k.

Summen

Als Verallgemeinerung der Primzahlfuntion π(x)=∑_p≤x 1 untersuchen wir Summen
    F(x)=∑_p≤x g(x).
Im Falle g(x)=1 ist F(x)=π(x). Die Gewichtsfunktion g(x) soll normalerweise das Übergewicht der großen Zahlen in der Summe reduzieren.
Eine Näherung zu F(x) ist
    T(x):=∫_2..x(s(x)∗g(x) dt) + c
Dabei ist c eine Konstante, die Unregelmäßigkeiten bei kleinen Zahlen ausgleicht, um die Näherung bei großen Zahlen zu verbessern.
Wenn das Integral aufwändig zu berechnen ist, kann eine Näherung benutzt werden, bei der die relative Differenz =O(1/x) ist.

Es wird wie bei π(x) angenommen, dass lim_x→∞(F(x)/T(x))=1 ist, oder gleichwertig, dass die Funktion
    D(x):=F(x)/T(x) - 1
gegen 0 geht. Um noch etwas zu sehen, wird D(x) mit einer "Vergrößerung" v(x) multipliziert und dann abgebildet.

Die Berechnugen werden für alle Zahlen x<10.000.000.000 gemacht. Als Ordinate in den Darstellungen ist die Zahl x wenig geeignet, da man dabei das Verhalten bei kleinen x-Werten nicht sieht. Statt dessen wird
    x1:=ln(x)
oder
    x2:=ln(ln(x))
benutzt. Umgekehrt ist x1=exp(x2) und x=exp(x1)=exp(exp(x2)).

Folgende Fälle werden berechnet:

1. g(x)=1, T(x)=Li(x), v(x)=x2*√(x)
2. g(x)=1/x, T(x)=x2+M1, v(x)=x1*x2*√(x)

M1 ist die Meissel-Mertens-Konstante (http://oeis.org/A077761): M1 = lim_n→∞ ((∑_p≤n (1/p)) - ln(ln(p))) = 0,261.497.212.847.642.783.75...