Polytope - Verschiedenes aus der Mathematik

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Inhalt

Logik
Mengenlehre
Zahlen
Vektorräume und Dimensionen
andere "Räume"

Logik

Mengenlehre

Zahlen

Reele Zahlen und Zahlengerade

"Reelle Zahlen" sind die "natürlichen Zahlen" (0,1,2,...), die negativen ganzen Zahlen (-1,-2,...), die "rationalen Zahlen" (Brüche wie 1/2=0.5, 1/3=0.333..., -23/11=-2.0909...) und die "nicht rationalen Zaqhlen" (z.B. Wurzeln, e und pi. Sie haben eine nicht periodische Ziffernfolge nach dem Dezimalpunkt). Mit den Grundrechenarten +,-,*,/ (außer /0) bilden sie einen "Körper". Sie sind linear lückenlos geordnet (Zeichen "<"). Sie lassen sich auf einer waagerechten Geraden so anordnen, dass jede Zahl genau einem Punkt der Geraden entspricht, die positiven Zahlen rechts vom Nullpunkt sind und der Abstand einer Zahl x vom Nullpunkt |x|*(Abstand der 1 vom Nullpunkt) ist.

Kardinal- und Ordnungszahlen

3.5 Vektorräume und Dimensionen

Koordinaten, Vektorräume und Euklidische Räume
In der Ebene kann man zwei Zahlengeraden senkrecht zueinander anordnen, so dass sie einen gemeinsamen Nullpunkt haben. Jeder Punkt wird durch ein Zahlenpaar (x₁,x₂) bestimmt. Die beiden Zahlen heißen "Koordinaten", die beiden Geraden "Koordinatenachsen". Im dreidimensionalen Raum gibt es entsprechend drei zueinander senkrechte Koordinatenachsen, und jeder Punt entspricht einem Tripel (x₁,x₂,x₃). Die Klammerung (x₁) für Punkte der Geraden, (x₁,x₂) für Punkte der Ebene und (x₁,x₂,x₃) für Punkte des dreidimensionalen Raumes nennt man "Vektoren", ihre Mengen "Vektorräume" R₁, R₂ und R₃. Für den Nullpunkt schreibt man statt (0), (0,0) und (0,0,0) meist einfach 0. Zusätzlich nennt man R₀ eine Menge, die nur einen Punkt 0 enthält. Außerdem definiert man Räume R_n mit n=4,5,... als Mengen der Vektoren (x₁,x₂,x₃,x₄), (x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) usw. und den Raum R_oo als die Menge der Vektoren mit unendlich vielen Indizes (x₁,x₂,...), bei denen nur endlich viele Zahlen von 0 verschieden sind. Die Begriffe "Punkt" und "Vektor" werden wegen der engen Entsprechung im folgenden synonsm benutzt. Für die Vektoren gibt es folgende Rechenarten:

Addition zweier Vektoren: (a₁,a₂,...) + (b₁,b₂,...) = (a₁+b₁,a₂+b₂,...). Sie enspricht dem Aneinanderhängen der beiden Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl: c * (a₁,a₂,...)=(c*a₁,c*a₂,...). Sie bedeutet die Verlängerung des Vektors a um den Faktor c. Statt (-1)*a schreibt man auch -a.
Subtraktion zweier Vektoren: a-b=a+(-b)
Skalarprodukt zweier Vektoren: (a₁,a₂,...) (b₁,b₂,...) = a₁*b₁ + a₂*b₂ +... Wenn a und b in die gleiche Richtung zeigen, ist a b das Produkt der Längen. Wenn a und b senkrecht zueinander sind, ist das Produkt 0. Allgemein ist es das Produkt der Länge eines Vektors mit der Länge der Projektion des anderen darauf (negativ bei entgegengesetzter Richtung). Umgekehrt wird die Länge |a| eines Vektors a definiert als Quadratwurzel von a a. Der Abstand zweier Punkte a und b ist |a-b|.

Ein "Unterraum" ist eine Teilmenge des Raumes, die den Nullpunkt enthält und alle Summen und Vielfachen seiner Vektoren. Man kann ein neues Koordinatensystem hinein legen, so dass alle Skalarprodukte wie beim ursprünglichen sind. Ein "Teilraum" ist ein Unterraum oder ein verschobener Unterraum, d.h. zu allen Vektore wird ein konstanter Vektor addiert. Man kann ein neues Koordinatensystem hinein legen, so dass alle Abstände wie zuvor sind. Die "Dimension" ist die Zahl der benötigten Koordinaten. Jeder dieser "Räume" endlicher Dimension n eignet sich für Geometrie, wie sie in der Ebene und im dreidimensionalen Raum üblich ist und wird deshalb als "Euklidischer Raum" E_n bezeichnet.

Variation 1: In diesen Räumen oder Teilmengen können alternative "Abstandsfunktionen" definiert werden, woraus sich andere Geometrien ergeben, z.B. spärische und hyperbolische Geometrie. Variation 2: Statt vom Körper der reelllen Zahlen kann ein anderer Körper (Menge mit +,-,*,/,0,1 und den üblichen Regeln) zugrunde gelegt werden. Wenn der Körper der algebraischen Zahlen benutzt wird, ergibt sich kein wesentlicher Unterschied. Anders ist es beim Körper der komplexen Zahlen.